Grundlagen der Geometrie

der schwacheren Formulierung von Hilbert (1956). Es wird gezeigt, dass dieses Axiom genau die Definition einer multiplikativen Untergruppe des Korpers der Inzidenzebene ist. Ein Punkt liegt nicht zwischen zwei anderen (mit ihm kollinearen) Punkten (bzw. zwei Punktpaare trennen sich nicht in der projek- tiven Formulierung) genau dann, wenn das Doppelverhaltnis ein Element der Untergruppe ist. Umgekehrt wird das Axiomensystem durch die Angabe einer beliebigen multiplikativen Untergruppe befriedigt. Ein vollstandiges Axiomen- system der Anordnung erreicht man, falls man durch ein zusatzliches Axiom die grosste eigentliche Untergruppe, zum Beispiel die mit Index 2 im Fall einer ungeraden Charakteristik, auswahlt. Im Teil 2. 5 wird gezeigt, dass das scharfere Paschsche Axiom genau die Untergruppe mit Index 2 aus- wahlt. Im Kapitel 3 wird die Kongruenzrelation (eine euklidische Metrik) durch die gleichen Axiome wie im ersten Teil des Buches (aber ohne die Annahme uber die Beschranktheit der Eichkurve) zu der vollstandigen Inzidenzebene des ersten Kapitels (also unabhangig von der Anordnung) hinzugefugt. Im Teil 3. 3 wird gezeigt, dass dieses Axiomensystem fur die Ebenen mit einer un- geraden Charakteristik vollstandig ist, wobei das Axiom 3. 2 zwar etwas schwacher als im ersten Teil des Buches formuliert werden muss, indem die Existenz von zwei inkommensurablen Eichkurven gestattet wird. Der wesent- liche Teil des Beweises ist das Theorem 3. 7 von Segre (1954, 1955). Im Teil 3.

der schwächeren Formulierung von Hilbert (1956). Es wird gezeigt, dass dieses Axiom genau die Definition einer multiplikativen Untergruppe des Körpers der Inzidenzebene ist. Ein Punkt liegt nicht zwischen zwei anderen (mit ihm kollinearen) Punkten (bzw. zwei Punktpaare trennen sich nicht in der projek­ tiven Formulierung) genau dann, wenn das Doppelverhältnis ein Element der Untergruppe ist. Umgekehrt wird das Axiomensystem durch die Angabe einer beliebigen multiplikativen Untergruppe befriedigt. Ein vollständiges Axiomen­ system der Anordnung erreicht man, falls man durch ein zusätzliches Axiom die grösste eigentliche Untergruppe, zum Beispiel die mit Index 2 im Fall einer ungeraden Charakteristik, auswählt. Im Teil 2. 5 wird gezeigt, dass das schärfere Paschsche Axiom genau die Untergruppe mit Index 2 aus­ wählt. Im Kapitel 3 wird die Kongruenzrelation (eine euklidische Metrik) durch die gleichen Axiome wie im ersten Teil des Buches (aber ohne die Annahme über die Beschränktheit der Eichkurve) zu der vollständigen Inzidenzebene des ersten Kapitels (also unabhängig von der Anordnung) hinzugefügt. Im Teil 3. 3 wird gezeigt, dass dieses Axiomensystem für die Ebenen mit einer un­ geraden Charakteristik vollständig ist, wobei das Axiom 3. 2 zwar etwas schwächer als im ersten Teil des Buches formuliert werden muss, indem die Existenz von zwei inkommensurablen Eichkurven gestattet wird. Der wesent­ liche Teil des Beweises ist das Theorem 3. 7 von Segre (1954, 1955). Im Teil 3.